Carencia por alquilar un local

Hola, voy a alquilar un local comercial. He dejado ya una señal y he pedido un mes de carencia para darle un lavado de cara. La inmobiliaria me va a realizar el contrato para firmarlo el 10 de diciembre y, según me dicen, tengo que pagar el mes en curso, el mes de fianza y el mes de inmobiliaria.
He pedido un mes de carencia y me han dicho que si firmo el día 10 lo van a poner a fecha 15 de diciembre con lo que en enero solo pagaría 15 días, del 15 de enero al 31 de enero.
Mi duda es: si me dan un mes de carencia, ¿no debería pagar hasta el 15 de febrero?
Gracias.