¿Puedo recurrir a una sentencia de guardia y custodia?

Hola, mi pareja hoy a recibido una notificación de su ex pareja pidiendo la guardia y custodia de un hijo menor que tenían ambos. Durante estos años el padre no se ha hecho cargo de él ya que ella no quería y cuando lo dejaron fue amenazado con no ir a verlo. Incluso la abuela del menor por parte paterna ha insistido varias veces en que le dejará al niño para llevarlo al parque o a su casa y ella no ha querido argumentando que no quería que lo viese el padre.

Soy de un pueblo de Jaén y ahora ella pide la custodia del niño, una pensión y las visitas que él le puede hacer son los domingos solo dentro de un horario establecido por ella. No estamos de acuerdo en varios puntos, ¿podríamos pedir la custodia compartida?

Gracias espero respuesta